10. OLASILIĞA GİRİŞ VE TEMEL KAVRAMLAR

10.1. Olasılığa Giriş – Temel Kavramlar

Bir olayın olasılığı, olayın ne ölçüde ortaya çıkabileceğini ölçen sayısal bir değerdir. Yani, olayın olma şansının ölçüsüdür.

Olasılık; [0,1] aralığında değer alır. Bir A olayının olasılığı P(A)=0 ise, bu olayın olma ihtimali sıfırdır yani imkânsızdır. P(A)=1 ise, bu olayın olma ihtimali %100’dür yani 1’dir ve kesindir. Bir olasılık değerinin 1’den büyük veya negatif bir değer alması söz konusu olamaz.

Rastsal Deneme (deney):

Farklı sonuçları olan bir olayın gözlenmesi sürecidir. Örneğin bir paranın atılması, bir zar atılması, bir iskambil destesinden kart çekilmesi, v.b.

Örneklem Uzayı (sampling space):

Bir deneyin mümkün tüm sonuçlarını kapsayan ve “S” ile gösterilen kümeye örneklem uzayı denir. Olayın mümkün tüm sonuçlarına e1,e2,….en dersek;

S={e1, e2,…en}

P(S)=1

Örneklem uzayının eleman sayısı n(S);

Herhangi bir olayın olasılığı daima [0,1] aralığında değer alır, negatif ya da 1’den büyük olasılık yoktur.

0≤P(A)≤1

Örneklem Uzayının oluşturulmasına ilişkin birkaç örnek verelim;

**Zar atma deneyinde mümkün sonuçlar 6 tanedir;

S={1,2,3,4,5,6}

n(S)=6^1=6

**Para atma deneyinde mümkün iki sonuç vardır, ya yazı gelir ya da tura gelir;

S={Y,T}

n(S)=2^1=2

**2 para atma deneyinde örneklem uzayı şöyledir;

S={YY,YT,TY,TT}

Burada  formülünü hatırlayalım. İki para peş peşe ya da aynı anda atıldığında mümkün iki sonuç vardır, yapılan deneme sayısı yani atış sayısı 2 olduğu için;

n(S)=2^2=4’tür.

***Bir futbol maçında örneklem uzayı;

S={kazanma, beraberlik, galibiyet}

***A olayı: 2 para atma deneyinde sadece 1 yazı gelme olsun, A olayının örneklem uzayı;

A={YT,TY}

***B olayı: sadece 2 tura gelmesi olsun, B olayının örneklem uzayı;

B={TT}

*** C olayı: en az 1 yazı gelmesi, C olayının örneklem uzayı;

C={YT,TY,YY}

Odds Ratio (İhtimal oranı):

Bazen bir olayın meydana gelme olasılığı, ihtimal(şans) ifadeleriyle tanımlanır. Mesela; A olayı, yarın havanın iyi olma ihtimali 3’e 1’dir dersek, P(A)=3/4’tür.

B olayı, Ali’nin yarınki sınavdan geçme şansı 4’e 1’dir şeklinde tanımlanmış olsun, bu durumda P(B)=4/5’tir.

Rastlantı değişkeni (rassal değişken):

Alacağı değerler bir deneme sonucu ortaya çıkan değişkenlere rastlantı değişkeni denir. Deney sona ermeden alacağı değerleri bilemeyiz, bu nedenle adı tesadüfi (rastlantısal) değişkendir. Mesela; bir maçtaki gol sayısı, bir marketin günlük karı, bir kişinin kilosu, bir zarın atılması, bir paranın atılması, v.b.

Rastlantı değişkeni bir başka şekilde şöyle ifade edilebilir; örneklem uzayındaki örneklem birimlerine reel değerler atayan fonksiyona rassal değişken denir. Rastlantı değişkenlerini genellikle X ile, aldığı değerleri ise x ile gösteririz. X rastlantı değişkeninden bahsederken, kısaltarak X r.d. deriz. X rd bir fonksiyondur demiştik, tanımlanmasına göre kesikli veya sürekli rd olabilir. S örneklem uzayının elemanları sonlu sayıda veya sayılabilir sonsuzlukta ise X rd kesiklidir. Şayet bir aralıkta değer alıyor ve ölçüm sonucu değer alıyor ise bu durumda sürekli rd dir.

İki zar attığımızı düşünelim. Burada X kesikli bir rd dir. Örneklem uzayındaki mümkün tüm sonuçların sayısı n(S)= 6²’dir.

S={ 1,1.1,2.1,3.1,4……4,1.4,2….6,5.6,6} şeklinde 36 birimden oluşur ve 2 zar attığımızda bunlardan biri gelecektir.

“X rd: üste gelen yüzlerin toplamı 12 olsun” şeklinde tanımlandığında bu koşulu sağlayan tek bir çift vardır, o da (6,6) gelmesidir. O halde P(x=12)=1/36’dır. Gördüğünüz gibi X rd. , S’deki bir örneklem birimini reel bir sayıya bağladı yani ona reel bir değer atanmış oldu.

10.1.1. Toplama Kuralı

İki ayrık olay (ayrık olay aynı anda olması mümkün olmayan, kesişimleri boş küme olan olaylardır) düşünelim, biri n1 farklı şekilde, diğeri n2 farklı şekilde gerçekleşebiliyor olsun. Bu işlemlerden biri veya diğeri n1+n2 farklı şekilde gerçekleşebilir.

Örnek: Bir zar atalım. Kaç farklı şekilde tek ya da çift gelebilir?

Çözüm:

n1+n2=6 farklı şekilde tek ya da çift gelebilir.

Örnek: Bir torbada 2 Siyah, 4 Kırmızı ve 5 Mavi bilye olsun. Rastgele çekilecek bir bilye için, bu bilye kaç farklı yoldan siyah ya da kırmızı ya da mavi olabilir?

Çözüm:

n1+n2+n3= 11 farklı yoldan çekilebilir.

Ayrık Olaylar:

Aynı anda gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara denir. Örnekler:

*** Bir öğrencinini bir dersten hem geçmesi hem kalması (ya geçer ya kalır)

*** Havanın hem karlı hem de 40 derece olması

*** Beşiktaş –Fenerbahçe maçının berabere yada Beşiktaş’ın şampiyonluğuyla bitmesi, v.b.

A ve B ayrık olaylar olmak üzere, P(AUB) = P(A)+P(B)’dir. Olayların kesişimleri boş kümedir.

Örnek: Bir öğrencinin bir dersten geçme ihtimali (önceki yılların başarı oranı göz önünde bulundurularak) %54, kalma ihtimali ise %46’dır. Bu öğrencinin geçme veya kalma ihtimali nedir?

Çözüm:

A ve B ayrık olaylardır çünkü aynı anda ortaya çıkamazlar, o halde P(AUB) = 0.54 +0.46=1’dir.

10.1.2. Çarpma Kuralı

İki olay düşünelim. İlk olay n1 farklı şekilde, diğeri n2 farklı şekilde meydana geliyor olsunlar. Bu iki olay birlikte n1*n2 farklı şekilde ortaya çıkabilirler.

Örnek: Bir zarı 2 kez atalım. Ortaya çıkacak sonuçlar kaç farklı şekilde gerçekleşebilir?

Çözüm:

n1=6

n2= 6

n1*n2 =36 farklı şekilde atış yapılabilir.

Örnek: İstanbul’dan Ankara aktarmalı Erzurum’a gidecek bir yolcu, bu yolculuğu aşağıdaki bilgiler dâhilinde kaç farklı şekilde yapabilir?

Çözüm: n1=4 , n2=4olduğuna göre; 4*4 = 16 farklı şekilde gidebilir. Aşağıda bu durumun ağaç diyagramı ile gösterimini göreceksiniz:

Örnek: Üç çocuklu bir ailede çocukların muhtemel cinsiyetlerinin kaç farklı şekilde gerçekleşebileceğini hesaplayarak ağaç diyagramı ile gösteriniz.

İlk olay 1. Çocuğun olmasıdır ve n1=2 farklı şekilde olabilir. 2. Olay 2. Çocuğun olmasıdır ve bu da yine n2=2 farklı şekilde olabilir. 3. Çocuk da y az kız ya da erkek olacağı için n3=2’dir. Bu durumda olayın toplamı yani üç çocuğun mümkün cinsiyetleri 2*2*2= 8 farklı şekilde olabilir. Şöyle ki, ağaç diyagramından takip edersek, ilk çocuğun kız olması durumundan başlayalım, muhtemel sıralamalar şöyledir: KKK, KKE, KEK, KEE. İlk çocuğun erkek olması durumunda sıralamalar; EKK, EKE, EEK, EEE. Toplamda sekiz farklı sıralama olabilir.

Bağımsız Olaylar:

Bir A olayının olması bir diğer B olayının olmasını etkilemiyorsa böyle olaylar bağımsız olaylardır. A ve B bağımsız olaylar ise;

P(A∩B)= P(A)*P(B) olmalıdır.

Örnek: İlk atışta tura, 2. de Yazı gelmesi?

Çözüm: 

Örnek: İki zar atıldığında birinin 2, diğerinin 6 gelmesi?

Çözüm: 

Örnek: Bir A noktasından B noktasına 3 farklı şekilde, B’den C’ye 6 farklı şekilde gidilebilmektedir. Peki A’dan C’ye kaç farklı şekilde gidilebilir?

Çözüm: 3*6=18 farklı şekilde gidilebilir.

10.2. Permütasyon

n tane nesnenin r tanesinin veya tamamının sıralama sayısıdır. Diziliş önemlidir. Formülü aşağıdaki gibidir:

Örnek: 4 kişi 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir?

Çözüm: =4*3*2*1=24 farklı şekilde oturabilirler.

Örnek: 7 kitaptan 3’ü, 3 boşluğa kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

Çözüm: = 210 şekilde

Örnek: 5 kişi bir yuvarlak masa etrafına kaç farklı şekilde oturabilirler?

Çözüm: Yuvarlak masada yan yana gelme durumundan dolayı özel bir formül vardır, (n-1)! Şeklinde hesaplanır. O halde çözüm 4! Dir.

Örnek: 2 kırmızı, 4 sarı, 8 yeşil mandal bir ipe kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Çözüm: bu da yine aynı türden nesnelerin permütasyonu başlığı altında özel bir durumdur ve formülü;

 ‘dir.

n= 14 , n1=2, n2=4, n3=8 olduğundan, sorumuzun cevabı;

 = 45045’tir.

Örnek: a, b, c harflerinin 2’li permütasyonları kaç tanedir, dizilişleri yazınız.

Çözüm:  tane diziliş vardır. Bunlar ;

Bu dizilişlere dikkatle bakınız, az önce permütasyonun tanımını yaparken dizilişin önemli olduğundan bahsetmiştik. Bu örnek tam da ne demek istediğimizi anlatan bir örnektir, öyle ki aslında ab dizilişi ile ba dizilişi aslında aynı şey gibi görünüyor değil mi? Çünkü aynı birimlerden oluşuyorlar, ama permütasyon mantığına göre aynı şey değiller, işte bu yüzden diziliş önemlidir. Kombinasyonda ise aynı ögelerden oluşan dizilişler birbirinin aynısı kabul edilir ve diziliş önemli değildir.

10.3. Kombinasyon

Sıralamaya bakılmaksızın n nesnenin r tanesinin seçilmesidir.

Örnek: a, b ve c’nin 2’li kombinasyonları kaç tanedir, yazınız

Çözüm:

 tanedir ve bunlar;

ab ac bc

Örnek: 52’lik bir desteden 3 kart kaç farklı şekilde çekilebilir?

Çözüm: 

Örnek: 5 evli çift arasından 4 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilebilir?

Çözüm: 

Örnek: 3 evli çiftten 2 kadın 1 erkek olacak şekilde 3 kişilik bir grup kaç farklı şekilde seçilebilir?

Çözüm:

 = 18 şekilde.

Örnek: 5 evli çift arasından 4 kişilik bir grup karı koca aynı grupta olmayacak şekilde kaç farklı biçimde seçilebilir?

Çözüm: 5 kadın, 5 erkek var, karı-koca aynı grupta olmayacak şekilde 4 kişilik gruplar oluşturacağız, eşlere isimler verelim daha anlaşılır olsun:

Hazal	Arda
Selin	Mert
Meltem	Atakan
Selda	Burak
Ayten	Mustafa

Kombinasyonlar aşağıdaki gibidir. Peki bu rakamlar ne demek oluyor biraz açalım:

10.4. Stirling Yaklaşımı

n çok büyük olduğunda n! ‘i hesaplamak için kullanılır.

 ya da;

e=2,718

π=3,14

Örnek: n=20 ise, n!=?

Hesap makinesiyle hesaplanan ise; 2,432*10^18